Problem 1
如果我們列出 10 以下 3 或 5 的倍數，我們會得到一個數列：3、5、6、9，其總和為 23。請找出 1000 以下是 3 或 5 倍數的總和。
Problem 2
對於每項費氏數列其值為前兩項之和。如果第一項是 1，第二項是 2，則前 10 項為：
1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、…
請找出費氏數列中所有偶數的和，而此偶數不超過四百萬。
Problem 3
將 13195 作質因數分解可得 5、7、13 和 29。那麼 600851475143 作質因數分解的最大質因數是什麼呢？
Problem 4
如果一個數字，從左到右讀起來和從右到左讀起來是一樣的，我們稱他為「迴文」數字 (palindromic number)。由兩個 2 位數字相乘組合而成的最大迴文數字為 9009 (=91×99)。
請找出由兩個三位數相乘而得的最大迴文數字。
Problem 5
2520 是一個可以被 1 到 10 整除的最小數字。那麼能夠被 1 到 20 整除的最小數字是什麼呢？
Problem 6
前 10 個自然數的平方和為：$1^2 + 2^2 + \dots + 10^2 = 385$
而前 10 個自然數的和平方是：${(1 + 2 + ... + 10)}^2 = 552 = 3025$
因此平方和以及和平方的差值為 $3025-385=2640$。
請找出 1 到 100 的平方和以及和平方的差值。
Problem 7
將質數排成一個數列：2、3、5、7、11 和 13，而第 6 項的數為 13。
那麼第 10001 個質數是哪一個數呢？
Problem 8
請在以下 1000 個數字中，找出連續 5 個數字的最大乘積。
Problem 9
畢氏定理是對於三個正整數 $a < b < c$，其 $a^2+b^2=c^2$ 恆成立。
舉例來說 $3^2+4^2=9+16=25=5^2$。
現在有三個正整數 $a, b, c$ 滿足畢氏定理，其中 $a+b+c=1000$。
求出 $a, b, c$ 的乘積。
Problem 10
10 以下的質數和 $2+3+5+7=17$。
請找出兩百萬以下的質數和。
Problem 11
在下面 $20\times{20}$ 的陣列中，有四個數字被標記成紅色。
08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48
這四個數字的乘積是 $26\times{63}\times{78}\times{14}=1788696$。
那麼在任意方向上 (上下左右或是對角線) 連續四個數字的最大乘積為何？
Problem 12
一個三角形數 (triangle number) 的數列是由自然數相加所產生。因此數列中第 7 個數為 $1+2+3+4+5+6+7=28$，而前 10 個數為 $1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \dots{}$。
以下列出首七個三角形數的因數：
我們可以看到 28 是第一個因數超過五個的三角形數，那第一個因數超過五百個的三角形數是多少呢？
Problem 13
求出下列 100 行數字的首 10 位數總和。
Problem 14
下列遞迴式可以產生一正整數集合：
我們使用上述規則，可以使 13 產生下列序列：
顯而易見的是，這個從 13 開始從 1 結束的序列有 10 項。有人認為以任意正整數做為起點最終都會在 1 結束，儘管這個問題尚未被証明 (Collatz Problem，$3n+1$ 猜想)，但請問哪個小於一百萬數字可以產生出最長的序列？
注意：序列中允許出現比一百萬大的數。
Problem 15
從 $2\times{2}$ 的方格左上角開始走，而且只能往右或往下走，總共有 6 種方法能走到右下角。
那麼走 $20\times{20}$ 方格共有多少路線？
Problem 16
$2^{15} = 32768$ 而且每個位數之和為 $3+2+7+6+8=26$。問 $2^{1000}$ 每個位數之和？
# Problem 17
如果數字 1 到 5 寫成英文單字的話，那麼會像這個樣子：one、two、three、four、five。這時我們用了 $3+3+5+4+4=19$ 個英文字母。
如果我們把 1 到 1000 都寫成英文字的話，我們需要用到幾個字母？
注意：空白和連字號 (hyphen) 不用算在內。舉例來說，342 (three hundred and forty-two) 就包含了 23 個字母，115 (one hundred and fifteen) 則包含 20 個字母。「and」這個詞用在數字中請用英式用法。
# Problem 18
從一個數塔頂端並往相鄰數字向下走到底部，可以得到最大的數字和為 $3+7+4+9=23$。
3
7 4
2 4 6
8 5 9 3
請找出下列數塔的最大和。
75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23
注意：因為總共只有 16384 條路徑，所以這個問題可以一條一條找求出最佳解。然而在 Problem 67 中，相同的問題但是該數塔有 100 橫列，這個問題就不能用暴力解了唷，而是需要一個更為簡潔的解法 ;o)。
# Problem 19
給你以下資訊，但是你得先做好一些準備：
1900 年 1 月 1 日為星期一。
4 月、6 月、9 月、11 月有 30 天，除了 2 月只有 28 天以外，其餘都是 31 天。在閏年時，2 月有 29 天。
閏年發生在被 4 整除的年份，但不發生在被 100 整除的年份，除非該年被 400 整除。
請問二十世紀中，有多少個星期日在每個月的第一天（從 1901 年 1 月 1 日到 2000 年 12 月 31 日）？
# Problem 20
$n!$ 代表 $n\times{(n－1)}\dots{3}\times{2}\times{1}$
請求出 $100!$ 各個位數的和。